10. Sınıf Matematik Performans Görevi: Fonksiyon Kavramı

Bu ödev, yalnızca fonksiyonun ne demek olduğunu açıklamayı kapsar. Fonksiyon çeşitleri, ayrı bir ödev konusudur.

Fonksiyon, bir A kümenin elemanlarını, bir B kümesinin elemanları ile, aşağıdaki şartları sağlayacak şekilde  eşleyen bağıntıya denir:

1. Şart: A'nın her elemanı, B'nin bir elemanıyla mutlaka eşlenmiş olacak,
2. Şart: A'nın bir elemanı, B'de birden çok elemanla eşlenmeyecek.

Eğer A ve B arasındaki bir eşleme bu koşulları sağlıyorsa, artık ona "A'dan B'ye bir fonksiyon" adı verilir. Fonksiyonlar, genelde f, g gibi küçük harflerle gösterilir.

Örnek:

A = {-2,1,3} ,  B = {2,4,6} olsun. Bu durumda f = {(-2,2),(1,2),(3,4),(-2,6)} eşlemesinin fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
 parantez içinde virgülle ayrılmış sayılara "sıralı ikili" dendiğini biliyorsunuz. Bu sıralı ikililerin birinci bileşenleri A'nın elemanlarını (yani eşlenen elemanları), ikinciler de B'nin elemanlarını (yani eşlenen elemanların hangi elemanlarla eşlendiklerini) gösterir.

Önce, A'daki her elemanın B'deki bir elemanla eşlenip-eşlenmediğini kontrol edelim: İkililerin sol taraflarında A'nın bütün elemanları var. Demek ki ilk koşul sağlanıyor.  ancak, -2 ile başlayan iki tane ikili olduğunu görüyoruz: (-2,2) ve (-2,6): Bunun anlamı şudur: A'daki -2 elemanı, B'de hem 2 ile, hem de 6 ile eşlenmiş. Bu ise, yukarıda bahsettiğimiz ikinci koşulun sağlanmadığı anlamına geliyor.
O halde, f, A'dan B'ye bir fonksiyon değildir.

Ancak, (-2,2),(-2,6) ikililerinden bir tanesini atarsak, artık f'e fonksiyon diyebiliriz, çünkü 2. koşul da sağlanmış olur. (-2,6) ikilisini atalım.

Önemli: Dikkat ederseniz, bu durumda hem -2, hem de 1 sayıları aynı elemanla, yani 2 ile eşlenmiştir. Ayrıca B'deki 6 elemanıyla A'nın hiç bir elemanı eşlenmemiş oluyor. Bunlar, fonksiyon olmayı engellemez.

f artık bir fonksiyondur. A kümesine, "f'in tanım kümesi", B kümesine de "f'in değer kümesi" adı verilir. B'nin, sadece eşleme yapılan elemanlarının oluşturduğu kümeye de, "f'in görüntü kümesi" denir. Bu örnekte ((-2,6) atılınca) f'in görüntü kümesi {2,4} olur.

Ödevi tamamlamak için siz de fonksiyon olan-olmayan birer eşleme gösterin. Hatta bu sefer siz küme parantezleri kullanmak yerine Venn Şeması'nı kulanın. A'dan B'ye eleman eşlemelerini de oklarla gösterin.

Son not: A ve B kümeleri birbirinin aynısı da olabilir. Yani A'nın elemanları kendi içinde yine A'nın elemanları ile eşlenebilir.

9. Sınıf Matematik Performans Görevi: Sayı Kümeleri

Bu performans görevi size verildiyse, sizden istenen, ilkokuldan başlayarak bu güne kadar gördüğünüz bütün sayı kümelerini hatırlatmanızdır. İlave olarak, bu sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisini de güzelce ortaya koyarsanız, görevi yerine getirdiniz demektir.

Doğal Sayılar Kümesi:  N harfi ile gösterilir. Sıfırdan başlayan tam sayıları içerir.

N = {0,1,2,.........}

Tam Sayılar Kümesi: Z harfi ile gösterilir. Doğal sayıların yanı sıra, bunların negatiflerini de içerir.

Z = {...., -2, -1, 0, 1, 2, .....}

Rasyonel Sayılar Kümesi: Q harfi ile gösterilir. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen tüm sayılardır. 3/2, -7/3, 5 gibi.

Önemli: Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.

İrrasyonel Sayılar Kümesi: I ile gösterilir. Rasyonel olmayan, yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılardan oluşur.   ve pi sayısı gibi.

Gerçek Sayılar Kümesi: R ile gösterilir. Rasyonel ve irrasyonel bütün sayı kümelerini kapsar.

 R = Q U I 

Önemli: Sıfır sayısı yukarıdaki kümelerden sadece I'nin içinde değildir.Yani sıfır hem doğala, hem tam sayıdır. Aynı zamanda (örneğin 0/3 gibi) iki tam sayının bölümü şeklinde yazılabildiği için rasyoneldir.

Bu sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisi yazıldığı sıradaki gibidir, R hepsini kapsar. Ancak irrasyonel sayılar kümesi (I) kapsama zincirinin dışında tutulmalıdır. R onu da kapsar, ama I diğerlerini kapsamaz.

9.Sınıf Matematik Performans Görevi: Açıortay Kavramı

Öncelikle, bu ödev size denk geldiyse çok şanslı olduğunuzu belirtmek isterim. Neden mi? Çünkü genelde açıortay denilince akla ilk gelen şudur: "Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru..." Halbuki bu tanım hem çok klişe, hem de bazı bilimsel hatalar içermektedir.

Tavsiyem şudur ki, tahtaya şu tanımı yazarak başlayın: "Bir açının kollarına eşit uzaklıktaki noktalar kümesine açıortay denir." Böylece matematik öğretmeninizden ilk artıyı kapmış olursunuz. Unutmayın: doğru tanımla başlamak bir matematikçi için vazgeçilmezdir. Ardından şu resmi çizelim:

AOC açısının kolları arasından çizdiğiniz [OC ışını üzerinde P noktasını alın ve P'den açının her iki koluna çizilen dikmelerin eşit olduğunu vurgulayın. Aynı ışın üzerinden farklı noktalar alarak da kollara çizilen dikmelerin yine birbirine eşit olduğunu söyleyin. Böylece birinci aşamayı tamamlamış olursunuz.

Dikkat ederseniz, henüz ortada açıyı eşit bölme gibi bir durum yok. Neden? Çünkü açıyı eşit bölme meselesi, yukarıda verdiğimiz tanımın bir sonucu da ondan...

Şimdi, P noktasından açının kollarına çizilen dikmeler yardımı ile iki dik üçgen oluşturduğumuza dikkat edelim. Bu üçgenlerin birer dik kenarı zaten eşit uzunlukta. Hipotenüsleri de ortak: [OP]... O halde?

Demek ki diğer dik kenarlarının uzunlukları da eşit olmalı. Bu yüzden de bu iki üçgen aynıdır. (Biz buna matematikte "eş üçgenler" diyoruz.) O halde bu iki dik üçgenin eşit uzunluktaki kenarlarının karşısındaki açılar da eşit olmalı. İşte AOC açısıyla COB açısının eşit olma nedeni budur. Şekli aşağıdaki gibi tamamlayın:

İşte bu kadaaar... Eğer üçgendeki açıortaylar konusu da ödevinize dahilse, o zaman o konudaki gönderiye bakın. Hadi bakalım, geçmiş olsun...