12.Sınıf Matematik Performans Görevi: Mutlak Değerli Fonksiyonların Limiti

Aslında bu ödevi yapmadan önce bundan bir önceki görevi, yani "Parçalı Fonksiyonların Limiti " isimli ödevi okuyun. Çünkü mutlak değer fonksiyonu da parçalı bir fonksiyondur ve limit konusunda orada ne söylendiyse mutlak değerde de o geçerlidir.

Önce mutlak değer fonksiyonunun bir tanımını verin. Bunu her yerde, EBA 'da da rahatlıkla bulabilirsiniz.

Mutlak değer içeren fonksiyonların grafiklerine şöyle bir göz atmakta fayda var:

Fonksiyonun grafiği:

 Dikkat ederseniz, grafik x = 2 ve x =4 noktalarında kırılmaktadır. Bu noktalar mutlak değerin içini sıfır yapmaktadır. Ancak grafikten de anlaşılacağı gibi, bu noktalarda limit vardır (peki kaçtır?)

Bir de şuna bakalım:

 Bu fonksiyonun grafiği:

(Aslında grafikte x=1 'deki dikey çizgi olmaz)
 Burada da paydadaki mutlak değerin içini sıfır yapan sayı x =1 noktasında limit yoktur.

Demek ki, parçalı fonksiyonlarda fonksiyonun değiştiği noktalarda limit olmayabileceği gibi, mutlak değer içeren fonksiyonlarda da içini sıfır yapannoktalarda limit olmayabilir. ( Bu noktalara kritik nokta denir)

12.Sınıf Matematik Performans Görevi: Parçalı Fonksiyonlarda Limit

Öncelikle parçalı fonksiyonları hatırlamak gerekir. Bunun için size internetten bazı videolar tavsiye edeyim:

EBA şifrenizle giriş yaparak "Parçalı Fonksiyonun Tanımı " isimli videoyu izleyin. (Ancak bu video 9. sınıflar için olduğu için sizde açılmayabilir)

Khan Akademi 'den "Parçalı Fonksiyonlara Giriş " videosu da iyidir:
 http://www.khanacademy.org.tr/gY1qO7X8YRg

Ayrıca, "Parçalı Fonksiyon Grafiği Nasıl Çizilir? " videosunu da mutlaka izleyin:

http://www.khanacademy.org.tr/Gwe_2JNarO0

Grafiğin nasıl çizildiğini tam olarak anlamasanız da, bir parçalı fonksiyon grafiği üzerinde anlatımınıza başlayabilirsiniz:

Dikkat ederseniz, bu grafiğin " kırıldığı " bazı noktalar var. Bunlar, x = -1 ve x = 3 apsisli noktalar. Bu noktalarda limit olup olmadığını sağdan ve soldan yaklaşarak inceleyin. 

Bir de şu grafiğe bakın:

Bu da bir parçalı fonksiyon grafiği ve görüyorsunuz ki x=1 noktasında limit yok.

Buradan da anlaşılıyor ki, parçalı fonksiyonların "parçalandığı " yani değiştiği noktalarda limit olmayabiliyor. (Olabiliyor da..)

Sizin bu ödevde mutlaka vurgulamanız gereken nokta şudur:

Parçalı fonksiyonların tanım kümelerinin ayrıldığı, yani fonksiyonun değiştiği noktalarda limit olmayabilir. Bu nedenle, bu noktalarda limit aranırken sağdan ve soldan yaklaşılarak inceleme yapılmalıdır. 

12.Sınıf Matematik Performans Görevi: Sıkıştırma (Sandwich) Teoremi

Bu ödevi yapmaya başlamadan önce, aşağıdaki bağlantıyı tıklayarak konu ile ilgili videoyu izlemenizi öneririm:

http://www.khanacademy.org.tr/0btFgqHw93E

Aslında bu videodan anladıklarınızı yazmanız ve anlatmanız bile güzel bir ödev yapmanıza yeter. Çünkü sizden istenen teoremin ne olduğunu anlatmaktır. Yine de, başka türlü bir ödev yapabilmek için bazı tavsiyelerim olacak.

Öncelikle, aşağıdaki grafiğe bir göz atalım:

Bu grafikler, yukarıdan aşağıya sırasıyla aşağıdaki fonksiyonlara aittir:

,

,

,

(Siz ödevi yazarken fonksiyonların hepsini f(x) olarak adlandırmayı,  örneğin ortadaki g(x), sondaki h(x) olsun)

 Grafikten de anlaşıldığı gibi,  iken, 

koşulu sağlanmaktadır. Ayrıca, grafikten veya x = 0 yazarak rahatlıkla görüyoruz ki,

,

oluyor. Şimdi ,  iken bu iki fonksiyonun arasında değerler alan  fonksiyonunun da limitinin onların limitiyle aynı olduğunu görmekteyiz. Yani, x, 0'a yaklaşırken onun da limiti 2'dir. Zaten Sıkıştırma Teoremi de bunu söylemektedir.

Şimdi kitabınızdan teoremi düzgünce yazarak ödevinizi sonlandırabilirsiniz.

12.Sınıf Matematik Performans Görevi: Trigonometrik Fonksiyonların Limiti

Bu çalışmada sizden istenen, f(x) = Sin(x) ve f(x) = Cos(x) fonksiyonlarının x herhangi bir sayıya yaklaştığında limitinin nasıl bulunacağını anlatmanızdır. Bunun için şu adımları takip etmenizi tavsiye ederim:

1. Öncelikle Sin(x) ve Cos(x) fonksiyonlarının grafiklerini çizin:

Öncelikle f(x) = Cos(x) fonksiyonunun grafiği:

f(x) = Sin(x) fonksiyonunun grafiği:

2. Derste öğrendiğiniz şekilde bir a sayısı seçin ve x bu a sayısına yaklaşırken Sin(x) ya da Cos(x) fonksiyonlarının sağdan ve soldan limitlerini bulun. Sonra şu sorulara cevap verin:

*Sağdan ve soldan limitler aynı mı?
*Bu durum x'in yaklaştığı a sayısına göre değişiyor mu?
*Bulduğunuz limit değeri ile fonksiyon arasında fark var mı?

Bu sorulara sağlıklı cevaplar verdiğinizde, şu sonuçlara ulaşacaksınız:

Bu tespitlerden sonra, ders kitabından ilgili bilgiyi bulup yazın ve örnekleri yapın.

12.Sınıf Matematik Performans Görevi: Limit Özellikleri-Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlarda Limit

Öncelikle, ödevinizin iki kısımdan oluştuğunu unutmayın: Üstel Fonksiyonlarda Limit ve Logaritmik Fonksiyonlarda Limit. Aşağıdaki adımları takip ederseniz başarılı bir görev gerçekleştirebileceğinizi tahmin ediyorum.

Üstel Fonksiyonlarda Limit

1. Öncelikle en basit üstel fonksiyon olan f(x) = 2^x (2 üzeri x) fonksiyonunun grafiğini çizin:

 Tabii üstel fonksiyonun tabanı 1'den küçük de olabilir. Örneğin f(x) = (1/2)^x fonksiyonunun grafiği:

*Grafikten nasıl limit bulunduğunu hatırlayacak olursanız, x herhangi bir a sayısına yaklaşırken, limit hangi sayıya eşit olmaktadır?

*Üstel fonksiyonun tanımlı olduğu yerlerde limitinin olmadığı bir nokta var mıdır?
2. Şimdi artık kitabınızın 25. sayfasındaki 8. özelliğin i) maddesini yazabilirsiniz. Özelliğin altında verilen örneğin b şıkkında yapılana bakarsanız, x'in yaklaştığı sayı üstel fonksiyonun üstüne yazılmaktadır.

3. Kitabınızın 52. sayfasında 2. alıştırmanın f) şıkkını yapın. Yapmanız gereken tek şey x yerine sıfır yazmak. ,

4. Şimdi bir de 11. sınıftaki e sayısını hatırlatırsanız ve e^x fonksiyonunun da bir üstel fonksiyon olduğunu dikkate alarak tabanı e olan bir üstel fonksiyonda limit örneği verirseniz, bu kısmı tamamlamış olursunuz.

Logaritmik Fonksiyonlarda Limit

Üstel fonksiyonlar için izlediğiniz adımların aynısını burada da tekrar edebilirsiniz. Giriş olarak f(x) =
fonksiyonun grafiğini kullanabilirsiniz:

Eğer taban 1'den küçükse de, örneğin f(x) =   fonksiyonunun grafiği:

Aynı nedenlerden dolayı, logaritmalı bir limit söz konusu olduğunda da, x'in yaklaştığı sayıyı logaritmanın içindeki x'lerin yerine yazıyoruz.

Kitabınızın 25. sayfasındaki 8. özelliğin İi) maddesini yazabilirsiniz. Yalnız, şuna dikkat edin ve sunumda vurgulayın: y = f(x), x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon omalıdır.

Örneğin a şıkkını ve 52. sayfadaki 2. alıştırmanın g) şıkkını yapın.

Eğer f(x) = ln(x) fonksiyonunu da hatırlatıp bir örnekle zenginleştirirseniz, ödevi tamamlamış olursunuz. Kolay gelsin.....

12.Sınıf Performans Görevi:Limit Özellikleri-Köklü Fonksiyonlarda Limit

Bu ödevi yaparken yardımcınız, ders kitabınızın 25. sayfasında yer alan 7. özellik olacaktır. Kitabınızdan bu özelliği bulun ve ödevin başına bu özelliği yazdıktan sonra, aşağıdaki noktalara dikkat çekerek veya sorulara cevap vermeye çalışarak ödevi tamamlayın.

1. Bir kökün derecesi çift olduğunda veya tek olduğunda, kökün içine yazılabilecek sayılar nasıl değişmektedir?

2. Bir fonksiyon kökün içindeyse, bu haldeyken limiti nasıl bulunur?

3. Kökün derecesi çift olduğunda f(x)'in limiti neden pozitif olmak zorundadır?

Aslında 7. özellik  görsel olarak karışık gibi görünse de, söylenen şudur: Limit bulurken nasıl ki öncelikle yaklaşılan noktayı fonksiyonda yerine koyuyorsak, bu fonksiyon kök içindeyse de sayıyı kökün içinde yerine koyuyoruz. Daha da kısası: Fonksiyonun var olan limitinin kökünü alıyoruz.

Kitapta 7. özelliğin altındaki örneği incelediğinizde görürsünüz ki, tek yapılan limit aranan noktayı (yani 2'yi) köklerin içinde yerine yazmaktadır.

İlave olarak, sayfa 52'deki 2. alıştırmanın e şıkkını ve buna benzer kendinizin üreteceği bir kaç örneği çözmeniz yeterli olacaktır. GeoGebra yazılımını kullanarak bu fonksiyonların grafiğini çizdirmeniz ve ödevde yer vermeniz çok daha güzel bir ödev yapmanızı sağlayacaktır. Kolay gelsin....