10. Sınıf Matematik Performans Görevi: Fonksiyon Kavramı

Bu ödev, yalnızca fonksiyonun ne demek olduğunu açıklamayı kapsar. Fonksiyon çeşitleri, ayrı bir ödev konusudur.

Fonksiyon, bir A kümenin elemanlarını, bir B kümesinin elemanları ile, aşağıdaki şartları sağlayacak şekilde  eşleyen bağıntıya denir:

1. Şart: A'nın her elemanı, B'nin bir elemanıyla mutlaka eşlenmiş olacak,
2. Şart: A'nın bir elemanı, B'de birden çok elemanla eşlenmeyecek.

Eğer A ve B arasındaki bir eşleme bu koşulları sağlıyorsa, artık ona "A'dan B'ye bir fonksiyon" adı verilir. Fonksiyonlar, genelde f, g gibi küçük harflerle gösterilir.

Örnek:

A = {-2,1,3} ,  B = {2,4,6} olsun. Bu durumda f = {(-2,2),(1,2),(3,4),(-2,6)} eşlemesinin fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
 parantez içinde virgülle ayrılmış sayılara "sıralı ikili" dendiğini biliyorsunuz. Bu sıralı ikililerin birinci bileşenleri A'nın elemanlarını (yani eşlenen elemanları), ikinciler de B'nin elemanlarını (yani eşlenen elemanların hangi elemanlarla eşlendiklerini) gösterir.

Önce, A'daki her elemanın B'deki bir elemanla eşlenip-eşlenmediğini kontrol edelim: İkililerin sol taraflarında A'nın bütün elemanları var. Demek ki ilk koşul sağlanıyor.  ancak, -2 ile başlayan iki tane ikili olduğunu görüyoruz: (-2,2) ve (-2,6): Bunun anlamı şudur: A'daki -2 elemanı, B'de hem 2 ile, hem de 6 ile eşlenmiş. Bu ise, yukarıda bahsettiğimiz ikinci koşulun sağlanmadığı anlamına geliyor.
O halde, f, A'dan B'ye bir fonksiyon değildir.

Ancak, (-2,2),(-2,6) ikililerinden bir tanesini atarsak, artık f'e fonksiyon diyebiliriz, çünkü 2. koşul da sağlanmış olur. (-2,6) ikilisini atalım.

Önemli: Dikkat ederseniz, bu durumda hem -2, hem de 1 sayıları aynı elemanla, yani 2 ile eşlenmiştir. Ayrıca B'deki 6 elemanıyla A'nın hiç bir elemanı eşlenmemiş oluyor. Bunlar, fonksiyon olmayı engellemez.

f artık bir fonksiyondur. A kümesine, "f'in tanım kümesi", B kümesine de "f'in değer kümesi" adı verilir. B'nin, sadece eşleme yapılan elemanlarının oluşturduğu kümeye de, "f'in görüntü kümesi" denir. Bu örnekte ((-2,6) atılınca) f'in görüntü kümesi {2,4} olur.

Ödevi tamamlamak için siz de fonksiyon olan-olmayan birer eşleme gösterin. Hatta bu sefer siz küme parantezleri kullanmak yerine Venn Şeması'nı kulanın. A'dan B'ye eleman eşlemelerini de oklarla gösterin.

Son not: A ve B kümeleri birbirinin aynısı da olabilir. Yani A'nın elemanları kendi içinde yine A'nın elemanları ile eşlenebilir.

9. Sınıf Matematik Performans Görevi: Sayı Kümeleri

Bu performans görevi size verildiyse, sizden istenen, ilkokuldan başlayarak bu güne kadar gördüğünüz bütün sayı kümelerini hatırlatmanızdır. İlave olarak, bu sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisini de güzelce ortaya koyarsanız, görevi yerine getirdiniz demektir.

Doğal Sayılar Kümesi:  N harfi ile gösterilir. Sıfırdan başlayan tam sayıları içerir.

N = {0,1,2,.........}

Tam Sayılar Kümesi: Z harfi ile gösterilir. Doğal sayıların yanı sıra, bunların negatiflerini de içerir.

Z = {...., -2, -1, 0, 1, 2, .....}

Rasyonel Sayılar Kümesi: Q harfi ile gösterilir. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen tüm sayılardır. 3/2, -7/3, 5 gibi.

Önemli: Her tam sayı bir rasyonel sayıdır.

İrrasyonel Sayılar Kümesi: I ile gösterilir. Rasyonel olmayan, yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılardan oluşur.   ve pi sayısı gibi.

Gerçek Sayılar Kümesi: R ile gösterilir. Rasyonel ve irrasyonel bütün sayı kümelerini kapsar.

 R = Q U I 

Önemli: Sıfır sayısı yukarıdaki kümelerden sadece I'nin içinde değildir.Yani sıfır hem doğala, hem tam sayıdır. Aynı zamanda (örneğin 0/3 gibi) iki tam sayının bölümü şeklinde yazılabildiği için rasyoneldir.

Bu sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisi yazıldığı sıradaki gibidir, R hepsini kapsar. Ancak irrasyonel sayılar kümesi (I) kapsama zincirinin dışında tutulmalıdır. R onu da kapsar, ama I diğerlerini kapsamaz.

9.Sınıf Matematik Performans Görevi: Açıortay Kavramı

Öncelikle, bu ödev size denk geldiyse çok şanslı olduğunuzu belirtmek isterim. Neden mi? Çünkü genelde açıortay denilince akla ilk gelen şudur: "Bir açıyı iki eşit parçaya bölen doğru..." Halbuki bu tanım hem çok klişe, hem de bazı bilimsel hatalar içermektedir.

Tavsiyem şudur ki, tahtaya şu tanımı yazarak başlayın: "Bir açının kollarına eşit uzaklıktaki noktalar kümesine açıortay denir." Böylece matematik öğretmeninizden ilk artıyı kapmış olursunuz. Unutmayın: doğru tanımla başlamak bir matematikçi için vazgeçilmezdir. Ardından şu resmi çizelim:

AOC açısının kolları arasından çizdiğiniz [OC ışını üzerinde P noktasını alın ve P'den açının her iki koluna çizilen dikmelerin eşit olduğunu vurgulayın. Aynı ışın üzerinden farklı noktalar alarak da kollara çizilen dikmelerin yine birbirine eşit olduğunu söyleyin. Böylece birinci aşamayı tamamlamış olursunuz.

Dikkat ederseniz, henüz ortada açıyı eşit bölme gibi bir durum yok. Neden? Çünkü açıyı eşit bölme meselesi, yukarıda verdiğimiz tanımın bir sonucu da ondan...

Şimdi, P noktasından açının kollarına çizilen dikmeler yardımı ile iki dik üçgen oluşturduğumuza dikkat edelim. Bu üçgenlerin birer dik kenarı zaten eşit uzunlukta. Hipotenüsleri de ortak: [OP]... O halde?

Demek ki diğer dik kenarlarının uzunlukları da eşit olmalı. Bu yüzden de bu iki üçgen aynıdır. (Biz buna matematikte "eş üçgenler" diyoruz.) O halde bu iki dik üçgenin eşit uzunluktaki kenarlarının karşısındaki açılar da eşit olmalı. İşte AOC açısıyla COB açısının eşit olma nedeni budur. Şekli aşağıdaki gibi tamamlayın:

İşte bu kadaaar... Eğer üçgendeki açıortaylar konusu da ödevinize dahilse, o zaman o konudaki gönderiye bakın. Hadi bakalım, geçmiş olsun... 

9.Sınıf Matematik Performans Görevi: Mantık(Önerme)

Demek 9. sınıfın ilk performans görevini yapmak size düştü? Yoksa sınıf listesinde ilk sırada mısınız? Veya öğretmenin gözüne girmek için gönüllü olarak mı ilk ödevi almak istediniz? Her nasıl olursa olsun, bence şanslısınız. Her şeyden önce çok kolay bir ödeviniz var ve bunu güzelce sunarak lise matematiğine iyi bir başlangıç yapabilirsiniz.

Bu ödevde sizden dört sorunun cevabını vermeniz isteniyor. (Bence bu soruları tahtaya yazarak ya da sunumunuz her ne şekilde ise en başında bu soruları sorarak başlayın):

1. Önerme ne demektir?

2.  Önermenin doğruluk değeri nedir?

3. İki önermenin birbirine denk olması ne demektir?

4. Bir önermenin "değili" ne demektir?

Bunların cevaplarını internette yapacağınız kısa ve basit bir araştırmayla hemen bulabilirsiniz. Ancak ben size güzel bir kaynak tavsiyesinde bulunayım: www.eba.gov.tr 

adresine girin. Menüden sırasıyla İçerik-Kitap-Matematik-Ders Kitabı-11. Sınıf seçerek geçen yılın (ya da bu yılın) 11. Sınıf Matematik dets kitabını bulun. İlk konudur. Neden derseniz. 2017/2018 Eğitim-Öğretim Yılı'nda 9. Sınıflardan başlamak üzere Lise Matematik Ders içerikleri değişti ve bu konu 11. Sınıftan 9. sınıfa alındı. Kolay gelsin, başarılar....

--

Ersen ÖZBAŞARAN

9.Sınıf Matematik Performans Görevi: Uzunlukları Verilen Üç Doğru Parçası Hangi Durumlarda Üçgen Oluşturur?

Bu performans görevi için size tavsiyem, kağıt veya kartondan çeşitli uzunlukta ince şeritler hazırlamanız ve sunumlarda bunları kullanmanızdır. Boyanmış çubuk makarnalar da olabilir, çünkü bunları cetvelle ölçerek istediğiniz uzunlukta kırabilirsiniz. 

Örneğin, 5 cm, 8 cm ve 15 cm uzunluğunda üç parça alın. 5cm ve 8 cm lik çubukların iki   ucunu bir araya getirerek oluşturmak istediğiniz üçgenin bir köşesi haline getirin. Iki çubuğu ne kadar açarsanız açın, 15 cm lik çubuğun üçüncü kenarı olmasına yetmez. Ancak 15cm yerine 10 cm uzunluğunda bir çubuk aldığınızda, üçgenin oluştuğunu göreceksiniz. 

Ikinci denemeyi ise şöyle yapın: 

12.Sınıf Matematik Performans Görevi: Mutlak Değerli Fonksiyonların Limiti

Aslında bu ödevi yapmadan önce bundan bir önceki görevi, yani "Parçalı Fonksiyonların Limiti " isimli ödevi okuyun. Çünkü mutlak değer fonksiyonu da parçalı bir fonksiyondur ve limit konusunda orada ne söylendiyse mutlak değerde de o geçerlidir.

Önce mutlak değer fonksiyonunun bir tanımını verin. Bunu her yerde, EBA 'da da rahatlıkla bulabilirsiniz.

Mutlak değer içeren fonksiyonların grafiklerine şöyle bir göz atmakta fayda var:

Fonksiyonun grafiği:

 Dikkat ederseniz, grafik x = 2 ve x =4 noktalarında kırılmaktadır. Bu noktalar mutlak değerin içini sıfır yapmaktadır. Ancak grafikten de anlaşılacağı gibi, bu noktalarda limit vardır (peki kaçtır?)

Bir de şuna bakalım:

 Bu fonksiyonun grafiği:

(Aslında grafikte x=1 'deki dikey çizgi olmaz)
 Burada da paydadaki mutlak değerin içini sıfır yapan sayı x =1 noktasında limit yoktur.

Demek ki, parçalı fonksiyonlarda fonksiyonun değiştiği noktalarda limit olmayabileceği gibi, mutlak değer içeren fonksiyonlarda da içini sıfır yapannoktalarda limit olmayabilir. ( Bu noktalara kritik nokta denir)

9.Sınıf Matematik Performans Görevi: Evrensel Küme, Boş Küme, Sonlu Küme, Sonsuz Küme Kavramlarını Örneklerle Açıklama

Bu ödev size geldiyse çok şanslısınız, çünkü bu kavramlar zaten yabancı olduğunuz kavramlar değil. Temiz ve düzenli bir ödev hazırlayın, net örnekler verin yeter. Benim tavsiyelerim şunlar olacak:

1. Evrensel küme, üzerinde çalışıyor olduğunuz kümelerin hepsini kapsadığı düşünülen kümelerdir.

Örneğin A kümesi tek rakamlar kümesi, B kümesi üçün tam katı olan rakamlar kümesi olarak tanımlandığında, burada bütün rakamların oluşturduğu {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesini evrensel küme olarak almak uygun olur.

Tabii evrensel kümenin E sembolü ile gösterildiğini belirtmeyi unutmayın.

Venn Şeması ile gösterimde evrensel küme genelde diğer kümeleri içine alan bir dikdörtgen çerçeve ile gösterilir:

gibi...

2. Boş küme, hiç elemanı olmayan kümedir.

Sembolü ile gösterilir. Isim verilmiş bir kümenin hiç elemanının olmadığı vurgulanmak isteniyorsa, A = { } şeklinde gösterilir.

Ödevin bu kısmında, boş kümeye örnek vermeniz yerinde olacaktır. 

Örnek: Türkiye 'nin J harfi ile başlayan illeri.

Böyle bir ilimiz olmadığına göre, bu boş kümedir. (Ama kümedir, yani "küme belirtmez " diyemeyiz)

3. Sonlu Küme, sonlu sayıda elemanı olan kümedir. Örneğin, A = {2,3,8,4} kümesi sonludur, çünkü ilm elemanı da son elemanı da bellidir. Ayrıca, 

B = {x : x asal sayı ve x < 10000} kümesi de sonludur. Belki biz elemanlarını tek tek yazmakta zorlanırız, ama yazılabilir ve yazıldığında bir "son " elemanı vardır.

4. Sonsuz kümeler de vardır ve makematikte çok kullandığımız sayı kümeleri bunlara en güzel örneklerdir:

Doğal Sayılar Kümesi: N = {0,1,2,3, .... }

Dikkat ederseniz kümenin sonuncu elemanı olan bir eleman olmadığından ( ....) ile hiç bitmeden devam ettiğini gösteriiyoruz.